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Curuiosidades sobre los números Fibonacci

Ciencias formales - deductivas - Lógica - Matemática

 

Fibonacci

 

Tanto la sucesión de Fibonacci F_ncomo el número de oro o número aúreo \phiposeen multitud de propiedades y relaciones. Algunas son relativamente evidentes y otras son bastante curiosas.

  • Fórmula de Binet

La siguiente fórmula, atribuida a Binet aunque parece que De Moivre ya la conocía 100 años antes nos dice cómo calcular el n-ésimo número de Fibonacci. Nos la podemos encontrar de varias formas:

F_n=\cfrac{(1+\sqrt{5})^n-(1-\sqrt{5})^n}{2^n \sqrt{5}}
F_n =\cfrac{\varphi^n-(1-\varphi)^n}{\sqrt 5}
F_n=\cfrac{\varphi^n-(-1/\varphi)^{n}}{\sqrt 5}

Dado que (1-\phi)^ntiende a {0}cuando n \rightarrow \inftypodemos aproximar el número de Fibonacci F_na través de \textstyle{\frac{\phi^n}{\sqrt{5}}}. Añadiendo un sumando podemos dar una fórmula exacta más reducida que las anteriores:

F_n=\bigg \lfloor \cfrac{\varphi^n}{\sqrt 5} + \cfrac{1}{2} \bigg \rfloor
  • Serie de potencias

Si tomamos la sucesión de Fibonacci de la siguiente forma:

F_n= \begin{cases} 0, \mbox{ si } n = 0 \\ 1, \mbox{ si } n = 1 \\ F_{n-1}+F_{n-2}, \mbox{ si } n > 1 \end{cases}

Los números de Fibonacci son 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89, \ldots. Tomemos la función f(x)definida como la serie de potencias centrada en {0}cuyos coeficientes son los números de Fibonacci, es decir:

f(x)=\displaystyle{\sum_{n=0}^\infty F_n \, x^n}=0 \, x^0+1 \, x^1+1 \, x^2+2 \, x^3+ \ldots

Entonces podemos demostrar que la f(x)tiene una expresión bastante sencilla:

f(x)=\cfrac{x}{1-x-x^2}

  • Comprobar si un número entero positivo es un número de Fibonacci

Esta es la propiedad que más me sorprendió al verla de las que voy a comentar en esta entrada. Dice lo siguiente:

Si Nes un número entero positivo, Nes un número de Fibonacci si y sólo si 5 \cdot N^2+4ó 5 \cdot N^2-4es un cuadrado perfecto.

Como podéis ver la regla es bien sencilla. Veamos algunos ejemplos:

<!--[if !vml]-->F_0=0es un número de Fibonacci porque 5 \cdot 0^2+4=4=2^2
F_1=1es un número de Fibonacci porque 5 \cdot 1^2-4=1=1^2
F_2=1es un número de Fibonacci porque 5 \cdot 1^2+4=9=3^2
F_3=2es un número de Fibonacci porque 5 \cdot 2^2-4=16=4^2
F_4=3es un número de Fibonacci porque 5 \cdot 3^2+4=49=7^2
4no es un número de Fibonacci porque ni 5 \cdot 4^2-4=76ni 5 \cdot 4^2+4=84son cuadrados perfectos.
F_5=5es un número de Fibonacci porque 5 \cdot 5^2-4=121=11^2
6no es un número de Fibonacci porque ni 5 \cdot 6^2-4=176ni 5 \cdot 6^2+4=184son cuadrados perfectos.

  • Relación con los números de Lucas

    • La sucesión de Lucas es una sucesión del mismo tipo que la sucesión de Fibonacci, es decir, se define igual, pero cuyos primeros términos son 2y 1, esto es:

    L_n=\begin{cases} 2, \mbox{ si } n = 0 \\ 1, \mbox{ si } n = 1 \\ L_{n-1}+L_{n-2}, \mbox{ si } n > 1 \end{cases}

    Su nombre viene de Édouard Lucas, matemático francés que estudió este tipo de sucesiones. Los números de Lucas son los términos de dicha sucesión. Los primeros son:

    2,1,3,4,7,11,18,29,47,76,123,199,322, \ldots

    Existe una relación muy estrecha entre la sucesión de Fibonacci y la sucesión de Lucas. De hecho internet está lleno de información sobre el tema. La curiosidad que quiero comentar me ha surgido escribiendo este artículo y no recuerdo haberla visto en ninguna página (si la encontráis por ahí escribid un comentario).

    La cuestión está relacionada con la propiedad anterior. Hemos dicho que Nes un número de Fibonacci si 5 \cdot N^2+4ó 5 \cdot N^2-4son cuadrados perfectos. Según parece en cada caso uno y sólo uno de esos dos números es un cuadrado perfecto (con excepción de F_1=F_2=1, para los cuales tanto uno como otro cumplen esa propiedad). No tengo demostración de ello pero así lo creo. Pero hay más: cuando nes par el cuadrado perfecto es el que lleva el +4y cuando nes impar es el que tiene el -4el que cumple que es un cuadrado perfecto. Lo he comprobado con más números pero no me he podido parar a intentar demostrarlo.

    Y no acaba la cosa aquí. Conforme escribía los ejemplos me he fijado en los cuadrados perfectos que iban apareciendo: 2^2,1^2,3^2,4^2,7^2,11^2,18^2,29^2, \ldots¿Os suenan? Pues sí, son los cuadrados de los números de Lucas. Al menos eso es lo que parece conforme avanzamos en el cálculo. Si esta propiedad fuera cierta, teniendo en cuenta la relación +4si nes par y -4si nes impar, tendríamos que la siguiente igualdad es cierta:

    (L_n)^2=5 \cdot (F_n)^2+4 \cdot (-1)^n
    Fuente: http://gaussianos.com/algunas-curiosidades-sobre-los-numeros-de-fibonacci/